2017北京市高考数学模拟试卷及答案

高中数学是一门博大精深的学科,想要获得高分可不容易，可以通过做高考数学模拟试题来巩固。以下是本站小编为你整理的2017北京市高考数学模拟试卷，希望能帮到你。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=

(A){x|–2x–1} (B){x|–2x3}

(C){x|–1x1} (D){x|1x3}

(2)若复数(1–i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

(A)(–∞，1)

(B)(–∞，–1)

(C)(1，+∞)

(D)(–1，+∞)

(3)执行如图所示的程序框图，输出的s值为

(A)2

(B)

(C)

(D)

(4)若x，y满足

，则x + 2y的最大值为

(A)1 (B)3

(C)5 (D)9

(5)已知函数 ，则

(A)是奇函数，且在R上是增函数

(B)是偶函数，且在R上是增函数

(C)是奇函数，且在R上是减函数

(D)是偶函数，且在R上是减函数

(6)设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(7)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

(A)3

(B)2

(C)2

(D)2

(8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为 .则下列各数中与 最接近的是

(参考数据：lg3≈0.48)

(A)1033 (B)1053

(C)1073 (D)1093

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)若双曲线 的离心率为 ，则实数m=_______________.

(10)若等差数列 和等比数列 满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则 =__________.

(11)在极坐标系中，点A在圆 ，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 .

(12)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若 ， = .

(13)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________.

(14)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标学科&网分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3。

①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________。

②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的'是_________。

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)(本小题13分)

在△ABC中， =60°，c= a.

(Ⅰ)求sinC的值;

(Ⅱ)若a=7,求△ABC的面积.

(16)(本小题14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC,PA=PD= ,AB=4.

(I)求证：M为PB的中点;

(II)求二面角B-PD-A的大小;

(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。

(17)(本小题13分)

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy和的学科.网数据，并制成下图，其中“•”表示服药者，“+”表示为服药者.

(Ⅰ)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率;

(Ⅱ)从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求 的分布列和数学期望E( );

(Ⅲ)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)

(18)(本小题14分)

已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0, )作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点.

(Ⅰ)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程;

(Ⅱ)求证：A为线段BM的中点.

(19)(本小题13分)

已知函数f(x)=excosx−x.

(Ⅰ)求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.

(20)(本小题13分)

设{an}和{bn}是两个等差数列，记

cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，

其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.

(Ⅰ)若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列;

(Ⅱ)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时， ;或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.

1.A

【解析】集合 与集合 的公共部分为 ，故选A.

2.B

【解析】 ， 对应的点在第二象限， 解得：

故选B.

3.C

【解析】当 时， 成立，进入循环，此时 ， ;

当 时， 成立，继续循环，此时 ， ;

当 时， 成立，继续循环，此时 ， ;

当 时， 不成立，循环结束，输出 .

故选C.

4.D

【解析】设 ，则 ，由下图可行域分析可知，在 处取得最大值，代入可得 ，故选D.

5.A

【解析】奇偶性： 的定义域是 ，关于原点对称，

由 可得 为奇函数.

单调性：函数 是 上的增函数，函数 是 上的减函数，根据单调性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增函数，即 是 上的增函数.综上选A

6.A

【解析】由于 ， 是非零向量，“存在负数 ，使得 .”根据向量共线基本定理可知 与 共线，由于 ，所以 与 方向相反，从而有 ，所以是充分条件。反之，若 ， 与 方向相反或夹角为钝角时， 与 可能不共线，所以不是必要条件。综上所述，可知 ”是“ ”的充分不必要条件，所以选A.

7.B

【解析】如下图所示，在四棱锥 中，最长的棱为 ，

所以 ，故选B.

8.D

【解析】由于 ，

所以 ，故选D.

9.

【解析】∵双曲线的离心率为

∴

∴

∵ ， ，

∴

10.

【解析】∵ 是等差数列， ， ，

∴公差

∴

∵ 为等比数列， ，

∴公比

∴

故

11.1

【解析】把圆 改写为直角坐标方程 ，化简为 ，它是以 为圆心，1为半径的圆。画出图形，连结圆心 与点 ，交圆于点 ，此时 取最小值， 点坐标为 ， .

12.

【解析】∵因为角 和角 的终边关于 轴对称

∴ ，

∴

13. ， ，

【解析】由题意知 ， ， 均小于 ，所以找到任意一组负整数，满足题意即可.

14.① ②

【解析】①设线段 的中点为 ，则 ，其中 .

因此只需比较 ， ， 三个点纵坐标的大小即可.

②由题意， ， ，故只需比较三条直线 ， ， 的斜率即可.

15.

【解析】(1)

由正弦定理得：

(2)

为锐角

由 得：

又

16.

【解析】(1)取 、 交点为 ，连结 .

∵ 面

面

面 面

∴

在 中， 为 中点

∴ 为 中点

(2)方法一：

取 中点为 ， 中点为 ，连结 ，

∵ ，∴

又面 面

面 面

∴ 面

以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标

可知 ， ， ，

易知面 的法向量为

且 ，

设面 的法向量为

可知

∴

由图可知二面角的平面角为锐角

∴二面角 大小为

方法二：

过点 作 ，交 于点 ，连结

∵ 平面 ，∴ ，

∴ 平面 ，∴ ，

∴ 即为二面角 的平面角

，可求得

∴

(3)方法一：

点 ，

∴

由(2)题面 的一个法向量

设 与平面 所成角为

∴

方法二：

记 ，取 中点 ，连结 ， ，

取 中点 ，连 ，易证点 是 中点，∴

∵平面 平面 ， ，

∴ 平面

∴ 平面

连结 ， ，

∴

∵ ， ， ，由余弦定理知

∴ ，∴

设点 到平面 的距离为 ，

又 ，求得

记直线 与平面 所成角为

∴

17.

【解析】(1)50名服药者中指标 的值小于60的人有15人，故随机抽取1人，此人指标 的值小于60的概率为

(2) 的可能取值为：0，1，2

， ，

0 1 2

(3)从图中服药者和未服药者指标 数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。

18.

【解析】(1)由抛物线 过点 ，代入原方程得 ，

所以 ，原方程为 .

由此得抛物线焦点为 ，准线方程为 .

(2)

法一：

∵ 轴

设 ，根据题意显然有

若要证 为 中点

只需证 即可，左右同除 有

即只需证明 成立

其中

当直线 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 斜率存在且不为零.

设直线

联立 有 ，

考虑 ，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以 .

由韦达定理可知： ……①， ……②

将①②代入上式，有

即 ，所以 恒成立

∴ 为 中点，得证.

法二：

当直线 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 斜率存在且不为零.

设 为点 ，过 的直线 方程为 ，设 ，显然， 均不为零.

联立方程 得 ，

考虑 ，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以 .

由韦达定理可知： ……①， ……②

由题可得 横坐标相等且同为 ，且 ， 在直线 上，

又 在直线 ： 上，所以 ，若要证明 为 中点，

只需证 ，即证 ，即证 ，

将 代入上式，

即证 ，即 ，

将①②代入得 ，化简有 恒成立，

所以 恒成立，

所以 为 中点.

19.

【解析】(1)∵

∴

∴

∴ 在 处的切线方程为 ，即 .

(2)令

∵ 时，

∴ 在 上单调递减

∴ 时， ，即

∴ 在 上单调递减

∴ 时， 有最大值 ;

时， 有最小值 .

20.

【解析】(1)易知 ， ， 且 ， ， .

∴ ，

，

.

下面我们证明，对 且 ，都有 .

当 且 时，

∵ 且 ，

∴ .

因此，对 且 ， ，则 .

又∵ ，

故 对 均成立，从而 为等差数列.

(2)设数列 与 的公差分别为 ， ，下面我们考虑 的取值.

对 ， ，…， ，

考虑其中任意项 ( 且 )，

下面我们分 ， ， 三种情况进行讨论.

(1)若 ，则

①若 ，则

则对于给定的正整数 而言，

此时 ，故 为等差数列.

②若 ，则

则对于给定的正整数 而言， .

此时 ，故 为等差数列.

此时取 ，则 是等差数列，命题成立.

(2)若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为负数的一次函数.

故必存在 ，使得当 时，

则当 时， ( ， ).

因此，当 时， .

此时 ，故 从第 项开始为等差数列，命题成立.

(3)若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为正数的一次函数.

故必存在 ，使得当 时，

则当 时， ( ， )

因此，当 时， .

此时

令 ， ，

下面证明 对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时， .

①若 ，则取 ( 表示不大于 的最大整数)

当 时，

，

此时命题成立.

②若 ，则取

当 时，

.

此时命题也成立.

因此，对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时， .

综合以上三种情况，命题得证.