2018届浙江省高考数学二模拟试卷及答案

高考即将来临,在考前多做一些高考数学模拟试卷对考生有很大帮助。以下是本站小编为你整理的2018届浙江省高考数学二模拟试卷，希望能帮到你。

一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z= ，若a﹣z为纯虚数，则实数a的值为(　　)

A. B. C.﹣ D.﹣

2.命题“∀x∈[0，+∞)，sinx+x≥0”的否定是(　　)

A.∃x0∈(﹣∞，0)，sinx0+x0<0 B.∀x∈(﹣∞，0)，sinx+x≥0

C.∃x0∈[0，+∞)，sinx0+x0<0 D.∃x0∈[0，+∞)，sinx0+x0≥0

3.已知集合M={x|y=lg(x﹣2)，N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则实数a的取值范围是(　　)

A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(﹣∞，0) D.(﹣∞，0]

4.已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=± x则该双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. 或 D. 或

5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为(　　)

A.12 B.24 C.36 D.72

6.如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若 =x +y ，则xy=(　　)

A.2 B. C. D.

7.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何?”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(　　) (注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈ )

A.600立方寸 B.610立方寸 C.620立方寸 D.633立方寸

8.将函数f(x)=2sin(πx)的图象向左平移φ(0<φ<4)个单位，得到函数y=g(x)的图象，若实数x1，x2满足|f(x1)﹣g(x2)|=4，且|x1﹣x2|min=2，则φ=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.1或3

9.若如图的程序框图运行的结构为S=﹣ ，则判断框①中可以填入的是(　　)

A.i>4? B.i≥4? C.i>3? D.i≥3?

10.多项式(x2﹣x﹣y)5的展开式中，x7y项的系数为(　　)

A.20 B.40 C.﹣15 D.160

11.如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为(　　)

A. B. C. D.

12.已知函数f(x)= +bx﹣2a(a∈R)，其中b= (2sin •cos )dt，若∃x∈(1，2)，使得f′(x)•x+f(x)>0成立，则实数a的取值范围为(　　)

A.(﹣∞，1) B.(0，1] C.(﹣∞， ) D.(﹣∞， ]

二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)

13.某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取100人了解情况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为　　(以各组区间的中点值代表改组的取值)

14.若以椭圆 =1的右顶点为圆心的圆与直线x+ y+2=0相切，则该圆的标准方程是　　.

15.设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为　　.

16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c= ，C= ，点D在边AB上，且 • =0，则线段CD的最大值为　　.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(共5小题，满分60分)

17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣3Sn(n∈N*)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式

(Ⅱ)设bn=log2an，求数列{ }的前n项和Tn.

18.(12分)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧按AA1⊥底面ABC，且四边形AA1B1B是边长为2的正方形，CA=CB，点M为棱AB的中点，点E，F分别在按AA1，A1B1上

(Ⅰ)若点F为棱A1B1的中点，证明：平面ABC1⊥平面CMF

(Ⅱ)若AE= ，A1F= ，且CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.

19.(12分)根据《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》(HJ633﹣2012)规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表(1)所示，若表(2)、表(3)分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录.

表一：

空气质量指数 [0，50]

[51，100]

[101，150]

[151，200]

[201，300] 300以上

空气质量状况 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染

(Ⅰ)根据表(2)、表(3)中的数据，通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度(结果保留两位有效数字)

(Ⅱ)将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，根据表中提供的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由

(Ⅲ)小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望(结构保留整数部分)

附：相关系数r= ，r∈[0.30，0.75)时，相关性一般，r∈[0.75，1]时，相关性很强

参考数据： =28， (y1﹣ )2≈123134， (xi﹣ )(y1﹣ )= 68， ≈1857.

20.(12分)已知抛物线ω：y2=ax(a>0)上一点，P(t，2)到焦点F的距离为2t

(Ⅰ)求抛物线ω的方程

(Ⅱ)如图已知点D的坐标为(4，0)，过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于一定点.

21.(12分)设函数f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0).

(Ⅰ)若函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值;

(Ⅱ)若x1，x2(x1m恒成立，求实数m的取值范围.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.(10分)已知平面直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为(x+1)2+(y﹣1)2=1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+ )=2

(Ⅰ)求曲线C1与曲线C2的参数方程

(Ⅱ)若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值.

[选修4-5;不等式选讲]

23.已知函数f(x)=|x﹣t|，t∈R

(Ⅰ)若t=1，解不等式f(x)+f(x+1)≤2

(Ⅱ)若t=2，a<0，求证：f(ax)﹣f(2a)≥af(x)

一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z= ，若a﹣z为纯虚数，则实数a的值为(　　)

A. B. C.﹣ D.﹣

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.

【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.

【解答】解：复数z= = = = ，

∵a﹣z=a﹣ + i为纯虚数，

∴a﹣ =0，解得a= .

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2.命题“∀x∈[0，+∞)，sinx+x≥0”的否定是(　　)

A.∃x0∈(﹣∞，0)，sinx0+x0<0 B.∀x∈(﹣∞，0)，sinx+x≥0

C.∃x0∈[0，+∞)，sinx0+x0<0 D.∃x0∈[0，+∞)，sinx0+x0≥0

【考点】21：四种命题.

【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题.所以命题“∀x∈[0，+∞)，sinx+x≥0”的否定是：∃∃x0∈[0，+∞)，sinx0+x0<0;

故选：C.

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系.

3.已知集合M={x|y=lg(x﹣2)，N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则实数a的取值范围是(　　)

A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(﹣∞，0) D.(﹣∞，0]

【考点】18：集合的包含关系判断及应用.

【分析】先将集合M化简，然后集合M∩N=N，则N⊂M，得实数a.

【解答】解：集合M={x|y=lg(x﹣2)}={x|x>2}，N={x|x≥a}，

若集合M∩N=N，则N⊂M，

∴a>2，即(2，+∞).

故选：A.

【点评】本题考查集合的包含关系，考查数形结合的数学思想，属于基础题.

4.已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=± x则该双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. 或 D. 或

【考点】KC：双曲线的简单性质.

【分析】当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为 ，由已知条件推导出 ;当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为 ，由已知条件推导出 .由此利用分类讨论思想能求出该双曲线的离心率.

【解答】解：∵中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=± x，

∴双曲线的焦点坐标在x轴上或在y轴上，

①当双曲线的焦点坐标在x轴上时，

设双曲线方程为 ，

它的渐近线方程为y=± ，∴ ，

∴e= = = ;

当双曲线的焦点在y轴上时，

设双曲线方程为 ，

它的渐近线方程为y= ，∴ ，∴ ，

∴e= = = .

综上所述，该双曲线的离心率为 或 .

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用.

5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为(　　)

A.12 B.24 C.36 D.72

【考点】D8：排列、组合的实际应用.

【分析】根据题意，分3步进行分析：①、乙、丙两人站在一起，用捆绑法将2人看成一个整体进行分析;②、将这个整体与丁、戊进行全排列，③、分析甲的站法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分3步进行分析：

①、乙、丙两人站在一起，将2人看成一个整体，考虑其顺序有A22种顺序;

②、将这个整体与丁、戊进行全排列，有A33种情况;

③、甲不站在两侧，则乙丙的整体与丁、戊有2个空位可选，有2种情况，

则不同的排法有A22×A33×2=24种;

故选：B.

【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析受到限制的元素.

6.如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若 =x +y ，则xy=(　　)

A.2 B. C. D.

【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义.

【分析】 y( =x( )+y( )=(x﹣ ) +( ) = .可得x﹣ =1， =1，即可

【解答】解：∵ y( =x( )+y( )=(x﹣ ) +( ) = .

可得x﹣ =1， =1，解得x= ，y= ，∴xy=

故选：D

【点评】本题考查了向量的线性运算，属于中档题.

7.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何?”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(　　) (注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈ )

A.600立方寸 B.610立方寸 C.620立方寸 D.633立方寸

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积.

【分析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案.

【解答】解：如图，

AB=10(寸)，则AD=5(寸)，CD=1(寸)，

设圆O的半径为x(寸)，则OD=(x﹣1)(寸)，

在Rt△ADO中，由勾股定理可得：52+(x﹣1)2=x2，解得：x=13(寸).

∴sin∠AOD= ，即∠AOD≈22.5°，则∠AOB=45°.

则弓形 的面积S= ≈6.33(平方寸).

则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33×100=633(立方寸).

故选：D.

【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题.

8.将函数f(x)=2sin(πx)的图象向左平移φ(0<φ<4)个单位，得到函数y=g(x)的图象，若实数x1，x2满足|f(x1)﹣g(x2)|=4，且|x1﹣x2|min=2，则φ=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.1或3

【考点】HJ：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

【分析】结合正弦函数的图象和性质可得|x1﹣x2|min=2，得φ的值

【解答】解：将函数f(x)=2sin(πx)的图象向左平移φ(0<φ<4)个单位，得到函数y=g(x)=2sin(πx+φπ)的图象，

故f(x)的最大值为2，最小值为﹣2，g(x)的最大值为2，最小值为﹣2.

若实数x1，x2满足|f(x1)﹣g(x2)|=4，且|x1﹣x2|=2，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=2.

不妨假设f(x1)=2，g(x2)=﹣2，则 πx1=2kπ+ ，πx2+πφ=2nπ﹣ ，k、n∈Z，

即x1=2k+ ，x2=2n﹣ ﹣φ，此时，有|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=1+φ，或|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=﹣2+1+φ，

∴φ=1 或φ=3，

故选：D.

【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖，有一定难度，属于中档题.

9.若如图的程序框图运行的结构为S=﹣ ，则判断框①中可以填入的是(　　)

A.i>4? B.i≥4? C.i>3? D.i≥3?

【考点】EF：程序框图.

【分析】模拟运行程序，可得结论.

【解答】解：模拟运行程序，可得S=﹣ ，i=2;S=﹣ +2cos =﹣ ，i=3;

S=﹣ +3cosπ= ，i=4;S= +4cos =﹣ ，i=5，循环结束，

故选A.

【点评】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k值.

10.多项式(x2﹣x﹣y)5的展开式中，x7y项的系数为(　　)

A.20 B.40 C.﹣15 D.160

【考点】DB：二项式系数的性质.

【分析】由题意知，当其中一个因式取﹣y，一个因式取﹣x，其余的3个因式都取x2 时，

可得含x7y的项，由此求得结果.

【解答】解：多项式(x2﹣x﹣y)5表示5个因式(x2﹣x﹣y)的乘积，

当只有一个因式取﹣y，一个因式取﹣x，

其余的3个因式都取x2时，才可得到含x7y的项;

所以x7y的系数为 • • =20.

故选：A.

【点评】本题考查了排列组合、二项式定理和乘方的应用问题，是基础题.

11.如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为(　　)

A. B. C. D.

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案.

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，

底面(四分之一球)的半径R=2，

故四分之一球的体积V= = ，

半圆锥的底面面积S= =2π，

高h=3，

故半圆锥的体积为：2π，

故组合体的体积V= ，

故选：C

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键.

12.已知函数f(x)= +bx﹣2a(a∈R)，其中b= (2sin •cos )dt，若∃x∈(1，2)，使得f′(x)•x+f(x)>0成立，则实数a的取值范围为(　　)

A.(﹣∞，1) B.(0，1] C.(﹣∞， ) D.(﹣∞， ]

【考点】67：定积分.

【分析】先利用微积分基本定理求出a，得到函数的解析式，再求导函数，根据导数和函数的单调性关系，求出函数y=x+ 的最大值即可.

【解答】解：b= (2sin •cos )dt= sintdt=﹣cost| =﹣(cos ﹣cos0)=1，

∴f(x)= +x﹣2a，

设g(x)=xf(x)=2lnx+a2+x2﹣2ax，

∴g′(x)= +2x﹣2a，g′(x)=f′(x)•x+f(x)，

∵∃x∈(1，2)，使得f′(x)•x+f(x)>0成立，

∴∃x∈(1，2)，使得 +2x﹣2a>0，

∴∃x∈(1，2)，使得a< +x，

又y=x+ 在(1，2)上单调递增，

∴a<( +x)max< +2= ，

∴a< ，

故选：C

【点评】本题以函数为载体，考查微积分基本定理，导数的运用，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题

二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)

13.某校高三年级的一次测验成绩的'频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取100人了解情况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为　82　(以各组区间的中点值代表改组的取值)

【考点】B8：频率分布直方图.

【分析】先求出70～80分数段与90～100分数段的频率，再求平均分.

【解答】解：根据频率分布直方图知，

70～80分数段的频率为 =0.3，

∴90～100分数段的频率为

1﹣(0.1+0.3+0.4)=0.2，

∴平均分为 =0.1×65+0.3×75+0.4×85+0.2×95=82，

故答案为：82.

【点评】本题考查了利用频率分布直方图求平均数的应用问题，是基础题.

14.若以椭圆 =1的右顶点为圆心的圆与直线x+ y+2=0相切，则该圆的标准方程是　(x﹣2)2+y2=4　.

【考点】K4：椭圆的简单性质.

【分析】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，即可圆的半径，即可求得圆的标准方程.

【解答】解：椭圆 =1的右顶点(2，0)，

则圆心(2，0)，设圆心到直线x+ y+2=0的距离为d，

则d= =2，

∴该圆的标准方程的方程(x﹣2)2+y2=4，

故答案为：(x﹣2)2+y2=4.

【点评】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，属于基础题.

15.设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为　﹣5或2　.

【考点】7C：简单线性规划.

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解即可.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=kx+y得y=﹣kx+z，

则直线截距最大时，z最大，

∵目标函数z=kx+y的最大值为9，

∴y+kx=9，即y=﹣kx+9，

则目标函数过定点(0，9)，

当k=0时，y=z，此时直线过点A时，直线的截距最大，

由 得 ，即A(2，5)，

此时最大值z=5不满足条件.

当k>0时，目标函数的斜率为﹣k<0，

平移直线y=﹣kx+z，则直线经过点A(2，5)时，截距最大，

此时z=9=2k+5，得2k=4，k=2，

当k<0时，目标函数的斜率为﹣k>0，

平移直线y=﹣kx+z，则直线经过点C时，截距最大，

由 得 ，即C(﹣ ， )

此时z=9=﹣ k+ ，得﹣3k=15，得k=﹣5，满足条件.

综上k=﹣5或k=2，

故答案为：﹣5或2

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.注意本题要对k进行分类讨论.

16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c= ，C= ，点D在边AB上，且 • =0，则线段CD的最大值为　 　.

【考点】9R：平面向量数量积的运算.

【分析】根据| |=| |= 得出a2+b2=3+ab，再利用基本不等式得出ab的范围，根据面积公式得出CD关于ab的表达式，从而得出CD的最值.

【解答】解： =abcos = ，

∵| |=| |= ，

∴ =3，即a2+b2=3+ab，

又a2+b2≥2ab，∴3+ab≥2ab，∴ab≤3.

∵ • =0，∴CD⊥AB，

∴S= = ×CD×c，即 ab= CD，

∴CD= ab≤ ，

故答案为： .

【点评】本题考查了平面向量的应用与数量积运算，面积公式及基本不等式，属于中档题.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(共5小题，满分60分)

17.(12分)(2017•衡水金卷二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2﹣3Sn(n∈N*)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式

(Ⅱ)设bn=log2an，求数列{ }的前n项和Tn.

【考点】8E：数列的求和;8H：数列递推式.

【分析】(Ⅰ)当n≥2时，由已知条件an=2﹣3Sn得到an﹣1=2﹣3Sn﹣1，将这两个式子相减，再结合数列{an}的前n项和Sn的定义易得数列{an}的通项公式

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中求得的通项公式不难推出：bn=log2an=1﹣2n，所以利用裂项相消法来求数列{ }的前n项和Tn.

【解答】解：(Ⅰ)当n≥2时，∵an=2﹣3Sn…①

∴an﹣1=2﹣3Sn﹣1…②

①﹣②得：an﹣an﹣1=﹣3(Sn﹣Sn﹣1)=﹣3an

∴4an=an﹣1;即 = ，

又a1=2﹣3S1=2﹣3a1;得：a1= ，

∴数列{an}是以 为首项， 为公比的等比数列

∴an= ×( )n﹣1=21﹣2n(n∈N*)，即an=21﹣2n(n∈N*)，

(Ⅱ)∵an=21﹣2n(n∈N*)，bn=log2an，

∴bn=log2an=log221﹣2n=1﹣2n，

∴ = = ( ﹣ ).

∴Tn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )，

= (1﹣ )，

= (n∈N*).

【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键.

18.(12分)(2017•衡水金卷二模)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧按AA1⊥底面ABC，且四边形AA1B1B是边长为2的正方形，CA=CB，点M为棱AB的中点，点E，F分别在按AA1，A1B1上

(Ⅰ)若点F为棱A1B1的中点，证明：平面ABC1⊥平面CMF

(Ⅱ)若AE= ，A1F= ，且CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.

【考点】MI：直线与平面所成的角;LY：平面与平面垂直的判定.

【分析】(Ⅰ)推导出AA1⊥AB，AB⊥FM，CM⊥AB，从而AB⊥平面CMF，由此能证明平面ABC1⊥平面CMF.

(Ⅱ)记线段A1B1的中点为N，连结MN，以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.

【解答】证明：(Ⅰ)∵AA1B1B是边长为2的正方形，∴AA1⊥AB，

又在正方形ABB1A1中，F，M分别是线段A1B1，AB的中点，

∴FM∥A1A，∴AB⊥FM，

在△ABC中，CA=CB，且点M是线段AB的中点，

∴CM⊥AB，

又CM∩FM=M，∴AB⊥平面CMF，

又AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面CMF.

解：(Ⅱ)在等腰△CAB中，由CA⊥CB，AB=2，知CA=CB= ，且CM=1，

记线段A1B1的中点为N，连结MN，

由(Ⅰ)知MC、MA、MN两两互相垂直，

以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，

则C(1，0，0)，E(0，1， )，F(0， ，2)，A(0，1，0)，C1(1，0，2)，

=(﹣1，1， )， =(0，﹣ ， )， =(1，﹣1，2)，

设平面CEF的一个法向量 =(x，y，z)，

则 ，取z=2，得 =(5，4，2)，

设直线AC1与平面CEF所成角为θ，

则sinθ=|cos< >|= = = ，

∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为 .

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.

19.(12分)(2017•衡水金卷二模)根据《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》(HJ633﹣2012)规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表(1)所示，若表(2)、表(3)分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录.

表一：

空气质量指数 [0，50]

[51，100]

[101，150]

[151，200]

[201，300] 300以上

空气质量状况 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染

(Ⅰ)根据表(2)、表(3)中的数据，通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度(结果保留两位有效数字)

(Ⅱ)将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，根据表中提供的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由

(Ⅲ)小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望(结构保留整数部分)

附：相关系数r= ，r∈[0.30，0.75)时，相关性一般，r∈[0.75，1]时，相关性很强

参考数据： =28， (y1﹣ )2≈123134， (xi﹣ )(y1﹣ )= 68， ≈1857.

【考点】BK：线性回归方程.

【分析】(Ⅰ)求出平均数，比较即可;

(Ⅱ)求出r，根据r的范围判断即可;

(Ⅲ)设洗车店平均每天收入为X元，则X可能的取值为﹣200，400，700分别求出P(X=﹣200)，P(X=400)，P(X=700)，求出E(X)的值即可.

【解答】解：(Ⅰ)石家庄市近一周空气污染指数的平均值为：

≈293.43，

北京市近一周空气污染指数的平均数为：

≈262.71，

∴石家庄市与北京市的空气都处于重度污染，

且石家庄市比北京市的污染更严重;

(Ⅱ)r= ≈ ≈ ≈0.31，

∵r∈[0.30，0.75)，

∴石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系一般;

(Ⅲ)设洗车店平均每天收入为X元，

则X可能的取值为﹣200，400，700，

P(X=﹣200)= = ，

P(X=400)= = ，

P(X=700)= ，

则X的分布列为：

X ﹣200 400 700

P

故E(X)=﹣200× +400× +700× = ≈164(元)，

故小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望是164元.

【点评】本题考查了平均数问题，考查相关系数的计算以及数学期望问题，是一道中档题.

20.(12分)(2017•衡水金卷二模)已知抛物线ω：y2=ax(a>0)上一点，P(t，2)到焦点F的距离为2t

(Ⅰ)求抛物线ω的方程

(Ⅱ)如图已知点D的坐标为(4，0)，过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于一定点.

【考点】K8：抛物线的简单性质.

【分析】(Ⅰ)根据抛物线的定义，可得a=4t，将P代入抛物线方程，求得at=4，代入即可求得a的值，求得抛物线ω的方程;

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线MN的方程为x=my+1，联立方程组，表示出直线ND的方程，与抛物线ω的准线方程构成方程组，解得Q的坐标，求出直线MQ的斜率，得到直线MQ的方程，求出交点坐标即可.

【解答】解：(Ⅰ)由抛物线的定义可知丨PF丨=t+ =2t，则a=4t，

由点P(t，2)在抛物线上，则at=4，

∴a× =4，则a2=16，

由a>0，则a=4，

∴抛物线的方程y2=4x;

(Ⅱ)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

设直线MN的方程为x=my+1

，整理得：y2﹣4my﹣4=0，

由韦达定理可知：y1•y2=﹣4，

依题意，直线ND与x轴不垂直，∴x2=4.

∴直线ND的方程可表示为，y= (x﹣4)①

∵抛物线ω的准线方程为，x=﹣1②

由①，②联立方程组可求得Q的坐标为(﹣1，﹣ )

∴Q的坐标可化为(﹣1， )，

∴kMQ= ，

∴直线MQ的方程为y﹣y1= (x﹣x1)，

令y=0，可得x=x1﹣ = ，

∴直线MQ与x轴交于定点( ，0).

【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

21.(12分)(2017•衡水金卷二模)设函数f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0).

(Ⅰ)若函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值;

(Ⅱ)若x1，x2(x1m恒成立，求实数m的取值范围.

【考点】6D：利用导数研究函数的极值;6B：利用导数研究函数的单调性.

【分析】(Ⅰ)求导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值;

(Ⅱ)f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣2ax1)﹣(2lnx2+x22﹣2ax2)= ﹣x12+2lnx12，令x12=t，则t>1，g(t)= ﹣t﹣2lnt，x，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m的取值范围.

【解答】解：(Ⅰ)f′(x)= ，

0

a>2，令f′(x)=0，则x1= ，x2= ，

2

∴函数在(1，x1)内单调递减，在(x1，2)内单调递增，

∴f(x)min=f(x1)

a≥ ，x1= ，x2= ≥2，

∴函数在(1，2)内单调递减，∴f(x)min=f(2)=2ln2+4﹣4a=0.

∴a= ln2+1< (舍去)

综上所述，a= ;

(Ⅱ)x1，x2是f′(x)= 在(0，+∞)内的两个零点，是方程x2﹣ax+1=0的两个正根，

∴x1+x2=a>0，x1x2=1，△>0，∴a>2，∴x1>1

∴f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣2ax1)﹣(2lnx2+x22﹣2ax2)= ﹣x12+2lnx12，

令x12=t，则t>1，g(t)= ﹣t﹣2lnt，

∴g′(t)=﹣ <0，

∴g(x)在(1，+∞)上单调递减，

∴g(t)>g(1)=0，

∴m≤0.

【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，正确构造函数，合理求导是关键.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.(10分)(2017•衡水金卷二模)已知平面直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为(x+1)2+(y﹣1)2=1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+ )=2

(Ⅰ)求曲线C1与曲线C2的参数方程

(Ⅱ)若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值.

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程.

【分析】(Ⅰ)利用三种方程的转化方法，即可求曲线C1与曲线C2的参数方程

(Ⅱ)若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值，即求出A到曲线C2距离的最小值.

【解答】解：(Ⅰ)曲线C1的直角坐标方程为(x+1)2+(y﹣1)2=1，参数方程为 (α为参数);

曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+ )=2 ，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0，参数方程为 (t为参数);

(Ⅱ)设A(﹣1+cosα，1+sinα)，

A到曲线C2的距离d= = ，

∴sin(α﹣45°)=﹣1时，|AB|的最小值为3 ﹣1.

【点评】本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.

[选修4-5;不等式选讲]

23.(2017•衡水金卷二模)已知函数f(x)=|x﹣t|，t∈R

(Ⅰ)若t=1，解不等式f(x)+f(x+1)≤2

(Ⅱ)若t=2，a<0，求证：f(ax)﹣f(2a)≥af(x)

【考点】R4：绝对值三角不等式;R5：绝对值不等式的解法.

【分析】(I)由题意可得|x﹣1|+|x|≤2，对x讨论，去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集;

(II)由题意可证f(ax)﹣af(x)≥f(2a)，运用绝对值不等式的性质，求得左边的最小值，即可得证.

【解答】(I)解：由题意，得f(x)+f(x+1)=|x﹣1|+|x|，

因此只须解不等式|x﹣1|+|x|≤2，

当x≤0时，原不等式等价于﹣2x+1≤2，即﹣ ≤x≤0;

当0

当x>1时，原不等式等价于2x﹣1≤2，即1

综上，原不等式的解集为{x|﹣ ≤x≤ }.

(II)证明：由题意得f(ax)﹣af(x)=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|

=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|

=|2a﹣2|=f(2a).

所以f(ax)﹣f(2a)≥af(x)成立.

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题.