有关五年级奥数题之质数合数和分解质因数问题

例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

分析 ∵a与1080的乘积是一个完全平方数，

∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

解：∵1080×a=23×33×5×a，

又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。

∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。

例9 问360共有多少个约数？

分析 360=23×32×5。

为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有约数.为了求32×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5的所有约数。

解：记5的约数个数为Y1，

32×5的约数个数为Y2，

360（=23×32×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：

Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，

显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。

因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

所以360共有24个约数。

说明：Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝23×32×5中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23×32×5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23×32×5中质因数5的个数加1.因此

Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。

对于任何一个合数，用类似于对23×32×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

一个合数的.约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。

例10 求240的约数的个数。

解：∵240＝24×31×51，

∴240的约数的个数是

（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

∴240有20个约数。

请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？

例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.