2018届齐齐哈尔高三数学理第二次月考模拟试卷及答案

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一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求)

1.若 M={x|﹣2 x 2}，N={x|y=log2(x﹣1)}，则M∩N=(　　)

A.{x|﹣2 x<0} B.{x|﹣1

2.复数 (i为虚数单位)，则|z|等于 (　　)

A.25 B.41 C.5 D.5

3.设φ∈R，则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的 (　　)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且a⊥c，b∥c，则|a+b|等于(　　)

A.5 B.10 C.25 D.10

5. 设函数f(x)=x2+4x+6，x≤0-x+6，x>0，则不等式f(x)

A.(-3，-1)∪(3，+∞) B.(-3，-1)∪(2，+∞)

C.(-3，+∞) D.(-∞，-3)∪(-1,3)

6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)

A.f(-25) < f(11) < f(80) B.f(80) < f(11)

C.f(11)< f(80)

7.设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1，则 的值等于 (　　)

A.56 B.12 C.23 D.16

8. 函数y=ln(1-x)的大致图像为 (　　)

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9.若tan α+1tan α=103，α∈(π4，π2)，则sin(2α+π4)的值为 (　　)

A.-210 B.210 C.3210 D.7210

10.△ABC中，AC=7，BC=2，B=60°，则BC边上的高等于 (　　)

A.32 B.332 C.3+62 D.3+394

11.函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8

12.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b =( )

A.1 B. C. 1-ln2 D. 1-2ln2

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)

13.已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”;命题q：“存在x∈R，使得x2+4x+a=0”.若命题

“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是__________.

14.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f(16)的值为________.

15.在△ABC中，M是BC的中点，AM=4，点P在AM上，且满足AP→=3PM→，则PA→•(PB→+PC→)的值为___________.

16.在△ABC中，D为边BC上一点，BD= DC， ADB=120°，AD=2，若 = ，

则 BAC=_______.

三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤)

17. (本小题满分12分)已知向量a=(4,5cos α)，b=(3，-4tan α)，α∈(0，π2)，a⊥b，求：

(1)|a+b|;(2)cos(α+π4)的值.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(3sin ωx+cos ωx)cos ωx-12(ω>0)的最小正周期为4π..

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足(2a-c)cos B=bcos C，求函数f(A)的取值范围.

19. (本小题满分12分)已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，

向量 =(2sin B，-3)， =(cos 2B,2cos2B2-1)，且 ∥ .

(1)求角B的大小;(2)如果b=2，求S△ABC的最大值.

20.(本小题满分12分)(1)在等差数列{an}中，已知a1=20，前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值;

(2)已知数列{an}的通项公式是an=4n-25，求数列{|an|}的前n项和.

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21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mx-mx，g(x)=3ln x.

(1)当m=4时，求曲线f(x)=mx-mx在点(2，f(2))处的切线方程;

(2)若x∈(1, e ](e是自然对数的底数)时，不等式f(x)-g(x)<3恒成立，求实数m的取值范围.

(选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分)

22.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，将曲线C1：x2+y2=1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C2;在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ-sin θ)=6.

(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程;

(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并求出此最大值.

23.[选修4-5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)=|x-1|.

(1)解不等式f(x-1)+f(x+3) 6;

(2)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|fba.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 D C A B A D A C A B B C

填空：13. _______ _________14.________ __________

14._____-6__________16._______ ___________

17 解　(1)因为a⊥b，所以a•b=4×3+5cos α×(-4tan α)=0，

解得sin α=35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α=45，tan α=sin αcos α=34，

所以a+b=(7,1)，因此|a+b|=72+12=52.

(2)cos(α+π4)=cos αcos π4-sin αsin π4=45×22-35×22=210.

18 解：(1)f(x)=3sin ωxcos ωx+cos2 ωx-12=sin2ωx+π6，∵T=2π2ω=4π，∴ω=14，

∴f(x)=sin12x+π6，∴f(x)的单调递增区间为4kπ-4π3，4kπ+2π3(k∈Z).

(2)∵(2a-c)cos B=bcos C，∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C，

2sin Acos B=sin(B+C)=sin A，∴cos B=12，∴B=π3.∵f(A)=sin12A+π6，0

∴π6

19解　(1)m∥n⇒2sin B•(2cos2B2-1)+3cos 2B=0⇒sin 2B+3cos 2B=0⇒2sin(2B+π3)=0(B为锐角)

⇒2B=2π3⇒B=π3.

(2)cos B=a2+c2-b22ac⇒ac=a2+c2-4≥2ac-4⇒ac≤4.S△ABC=12a•c•sin B≤12×4×32=3.

20 解　(1)方法一　∵a1=20，S10=S15，

∴10×20+10×92d=15×20+15×142d，∴d=-53.

∴an=20+(n-1)×-53=-53n+653.

∴a13=0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，

∴当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13=S12=12×20+12×112×-53=130.

(2)∵an=4n-25，an+1=4(n+1)-25，∴an+1-an=4=d，又a1=4×1-25=-21.

所以数列{an}是以-21为首项，以4为公差的'递增的等差数列.

令an=4n-25<0，　　　　　　①an+1=4n+1-25≥0， ② 由①得n<614;由②得n≥514，所以n=6.

即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为-4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，

而|a7|=a7=4×7-25=3.设{|an|}的前n项和为Tn，则

Tn=21n+nn-12×-4 n≤666+3n-6+n-6n-72×4 n≥7=-2n2+23n n≤6，2n2-23n+132 n≥7.

21解：(1)f(x)=4x-4x的导数为f′(x)=4+4x2，可得在点(2，f(2))处的切线斜率为k=4+1=5，切点为(2,6)，可得切线的方程为y-6=5(x-2)，即为y=5x-4.

(2)x∈(1, e ]时，不等式f(x)-g(x)<3恒成立，即为mx-1x<3ln x+3在(1，e ]恒成立，

由1

由h(x)=3xln x+xx2-1的导数为h′(x)=3-2-ln x-x2ln xx2-12，

可得1

可得m<9e2e-1.则m的范围是-∞，9e2e-1.

22解：(1)由题意知，曲线C2方程为x32+y22=1，参数方程为x=3cos φy=2sin φ(φ为参数).直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0.

(2)设P(3cos φ，2sin φ)，则点P到直线l的距离为

d=|23cos φ-2sin φ-6|5=|4sin60°-φ-6|5.

∴当sin(60°-φ)=-1时，d取最大值25，此时取φ=150°，点P坐标是-32，1.

23(1)解：由题意，原不等式等价为|x-2|+|x+2|≥6，

令g(x)=|x-2|+|x+2|=-2x，x≤-24，-2

所以不等式的解集是(-∞，-3]∪[3，+∞).

(2)证明：要证f(ab)>|a|fba，只需证|ab-1|>|b-a|，

只需证(ab-1)2>(b-a)2，

而(ab-1)2-(b-a)2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)>0，

从而原不等式成立.