江苏省连云港市2018年中考数学模拟试题及答案

模拟试题是考试前的前瞻，能帮助我们认清楚考试的具体内容、形式和时间，可以说是十分重要的。以下是本站小编给你带来的最新模拟试题，希望能帮到你哈。

一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.)

1.有理数﹣1，﹣2，0，3中，最小的数是(　　)

A.﹣1 B.﹣2 C.0 D.3

【分析】先求出|﹣1|=1，|﹣2|=2，根据负数的绝对值越大，这个数就越小得到﹣2<﹣1，而0大于任何负数，小于任何正数，则有理数﹣1，﹣2，0，3的大小关系为﹣2<﹣1<0<3.

【解答】解：∵|﹣1|=1，|﹣2|=2，

∴﹣2<﹣1，

∴有理数﹣1，﹣2，0，3的大小关系为﹣2<﹣1<0<3.

故选B.

【点评】本题考查了有理数的大小比较：0大于任何负数，小于任何正数;负数的绝对值越大，这个数就越小.

2.据市统计局调查数据显示，我市目前常住人口约为4470000人，数据“4470000”用科学记数法可表示为(　　)

A.4.47×106 B.4.47×107 C.0.447×107 D.447×104

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.

【解答】解：数据“4470000”用科学记数法可表示为4.47×106.

故选：A.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面是的字是(　　)

A.丽 B.连 C.云 D.港

【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答.

【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

“美”与“港”是相对面，

“丽”与“连”是相对面，

“的”与“云”是相对面.

故选D.

【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题.

4.计算：5x﹣3x=(　　)

A.2x B.2x2 C.﹣2x D.﹣2

【分析】原式合并同类项即可得到结果.

【解答】解：原式=(5﹣3)x=2x，

故选A

【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键.

5.若分式 的值为0，则(　　)

A.x=﹣2 B.x=0 C.x=1 D.x=1或﹣2

【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可.

【解答】解：∵分式 的值为0，

∴ ，解得x=1.

故选：C.

【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，根据此条件列出关于x的不等式组是解答此题的关键.

6.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质.甲：函数图象经过第一象限;乙：函数图象经过第三象限;丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小.根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是(　　)

A.y=3x B. C. D.y=x2

【分析】可以分别写出选项中各个函数图象的特点，与题目描述相符的即为正确的，不符的就是错误的，本题得以解决.

【解答】解：y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误;

的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确;

的图象在二、四象限，故选项C错误;

y=x2的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误;

故选B.

【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、二次函数的性质，解题的关键是明确它们各自图象的特点和性质.

7.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3;如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=(　　)

A.86 B.64 C.54 D.48

【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系.同理，得出S4、S5、S6的关系.

【解答】解：如图1，S1= AC2，S2= BC2，S3= AB2.

∵AB2=AC2+BC2，

∴S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3，

如图2，S4=S5+S6，

∴S3+S4=16+45+11+14=86.

故选A.

【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

8.如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(　　)

A.2

【分析】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题.

【解答】解：如图，∵AD=2 ，AE=AF= ，AB=3 ，

∴AB>AE>AD，

∴

故选B.

【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型.

二、填空题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.)

9.化简： ═　2　.

【分析】直接利用立方根的定义即可求解.

【解答】解：∵23=8

∴ =2.

故填2.

【点评】本题主要考查立方根的概念，如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根.

10.分解因式：x2﹣36=　(x+6)(x﹣6)　.

【分析】原式利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=(x+6)(x﹣6)，

故答案为：(x+6)(x﹣6)

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

11.在新年晚会的投飞镖游戏环节中，7名同学的投掷成绩(单位：环)分别是：7，9，9，4，9，8，8，则这组数据的众数是　9　.

【分析】直接利用众数的定义得出答案.

【解答】解：∵7，9，9，4，9，8，8，中9出现的次数最多，

∴这组数据的众数是：9.

故答案为：9.

【点评】此题主要考查了众数的定义，正确把握定义是解题关键.

12.如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=54°，则∠2=　72°　.

【分析】由AB∥CD，根据平行线的性质找出∠ABC=∠1，由BC平分∠ABD，根据角平分线的定义即可得出∠CBD=∠ABC，再结合三角形的内角和为180°以及对顶角相等即可得出结论.

【解答】解：∵AB∥CD，∠1=54°，

∴∠ABC=∠1=54°，

又∵BC平分∠ABD，

∴∠CBD=∠ABC=54°.

∵∠CBD+∠BDC=∠DCB=180°，∠1=∠DCB，∠2=∠BDC，

∴∠2=180°﹣∠1﹣∠CBD=180°﹣54°﹣54°=72°.

故答案为：72°.

【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是找出各角的关系.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等(或互补)的角是关键.

13.已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0，则a=　 　.

【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=0代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值.

【解答】解：根据题意得：0+0+2a﹣1=0

解得a= .

故答案为： .

【点评】本题考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根一定满足该方程的解析式.

14.如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10=　75°　.

【分析】如图，作辅助线，首先证得 = ⊙O的周长，进而求得∠A3OA10= =150°，运用圆周角定理问题即可解决.

【解答】解：设该正十二边形的圆心为O，如图，连接A10O和A3O，

由题意知， = ⊙O的周长，

∴∠A3OA10= =150°，

∴∠A3A7A10=75°，

故答案为：75°.

【点评】此题主要考查了正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理，作出恰当的辅助线，灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键.

15.如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N.若AD=2，则MN=　 　.

【分析】设正方形的边长为2a，DH=x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据相似三角形的判定性质，可得NE的长，根据线段的和差，可得答案.

【解答】解：设DH=x，CH=2﹣x，

由翻折的性质，DE=1，

EH=CH=2﹣x，

在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2，

即12+x2=(2﹣x)2，

解得x= ，EH=2﹣x= .

∵∠MEH=∠C=90°，

∴∠AEN+∠DEH=90°，

∵∠ANE+∠AEN=90°，

∴∠ANE=∠DEH，

又∠A=∠D，

∴△ANE∽△DEH，

= ，即 = ，

解得EN= ，

MN=ME﹣BC=2﹣ = ，

故答案为： .

【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出DH的长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点.

16.如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧).若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为　9π　.

【分析】连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长AE交CD于点F，根据垂径定理可得出AE=BE= AB，利用勾股定理即可求出PE的长度，再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF=BC=AB，DF=AE，再通过勾股定理即可求出线段PD的长度，根据边与边的关系可找出PF的长度，分析AB旋转的过程可知CD边扫过的区域为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环，根据圆环的面积公式即可得出结论.

【解答】解：连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长AE交CD于点F，如图所示.

∵AB是⊙P上一弦，且PE⊥AB，

∴AE=BE= AB=3.

在Rt△AEP中，AE=3，PA=5，∠AEP=90°，

∴PE= =4.

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB∥CD，AB=BC=6，

又∵PE⊥AB，

∴PF⊥CD，

∴EF=BC=6，DF=AE=3，PF=PE+EF=4+6=10.

在Rt△PFD中，PF=10，DF=3，∠PFE=90°，

∴PD= = .

∵若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环.

∴S=πPD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π.

故答案为：9π.

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状.本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，结合AB边的旋转，找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键.

三、解答题(本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.计算：(﹣1)2016﹣(2﹣ )0+ .

【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可得到结果.

【解答】解：原式=1﹣1+5

=5.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.解方程： .

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2+2x﹣x=0，

解得：x=﹣2，

经检验x=﹣2是分式方程的解.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验.

19.解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来.

【分析】先去分母、再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出此不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可.

【解答】解：去分母，得：1+x<3x﹣3，

移项，得：x﹣3x<﹣3﹣1，

合并同类项，得：﹣2x<﹣4，

系数化为1，得：x>2，

将解集表示在数轴上如图：

【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是能正确求出不等式的解集.

20.某自行车公司调查阳光中学学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为A、B、C、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.

(1)本次问卷共随机调查了　50　名学生，扇形统计图中m=　32　.

(2)请根据数据信息补全条形统计图.

(3)若该校有1000名学生，估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有多少人?

【分析】(1)由A的数据即可得出调查的人数，得出m= ×100%=32%;

(2)求出C的人数即可;

(3)由1000×(16%+40%)，计算即可.

【解答】解：(1)8÷16%=50(人)，m= ×100%=32%

故答案为：50，32;

(2)50×40%=20(人)，

补全条形统计图如图所示：

(3)1000×(16%+40%)=560(人);

答：估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有560人.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了用样本估计总体的思想.

21.甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教.

(1)若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是　 　.

(2)若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率.

【分析】(1)根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案;

(2)根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.

【解答】解：(1)根据题意画图如下：

共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，

则所选的2名教师性别相同的概率是 = ;

故答案为： ;

(2)将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2(注：1表示男教师，2表示女教师)，树状图如图所示：

所以P(两名教师来自同一所学校)= = .

【点评】本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的`顺序列举，做到不重不漏.

22.四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.

(1)求证：△ADE≌△CBF;

(2)若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO.

【分析】(1)根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论;

(2)如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论.

【解答】证明：(1)∵BE=DF，

∴BE﹣EF=DF﹣EF，

即BF=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°，

在Rt△ADE与Rt△CBF中， ，

∴Rt△ADE≌Rt△CBF;

(2)如图，连接AC交BD于O，

∵Rt△ADE≌Rt△CBF，

∴∠ADE=∠CBF，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

23.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.

(1)求该店有客房多少间?房客多少人?

(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算?

【分析】(1)设该店有客房x间，房客y人;根据题意得出方程组，解方程组即可;

(2)根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费;若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论.

【解答】解：(1)设该店有客房x间，房客y人;

根据题意得： ，

解得： .

答：该店有客房8间，房客63人;

(2)若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱;

若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288千<320钱;

答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用;根据题意得出方程组是解决问题的关键.

24.环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.

(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式;

(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L?为什么?

【分析】(1)分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b;把A(0，0)，B(3，4)代入得出方程组，解方程组即可;②当x>3时，设y= ，把(3，4)代入求出m的值即可;

(2)令y= =1，得出x=12<15，即可得出结论.

【解答】解：(1)分情况讨论：

①当0≤x≤3时，

设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b;

把A(0，0)，B(3，4)代入得 ，

解得： ，

∴y=﹣2x+10;

②当x>3时，设y= ，

把(3，4)代入得：m=3×4=12，

∴y= ;

综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10;当x>3时，y= ;

(2)能;理由如下：

令y= =1，则x=12<15，

故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L.

【点评】本题考查了扬州市的应用、反比例函数的应用;根据题意得出函数关系式是解决问题的关键.

25.如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB= .

(1)求BC的长;

(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据： =1.4， =1.7， =2.2)

【分析】(1)过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD= AC=2，由三角函数求出CD=2 ，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果;

(2)在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD= 即可得出结果.

【解答】解：(1)过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：

在Rt△ADC中，AC=4，

∵∠C=150°，

∴∠ACD=30°，

∴AD= AC=2，

CD=ACcos30°=4× =2 ，

在Rt△ABD中，tanB= = = ，

∴BD=16，

∴BC=BD﹣CD=16﹣2 ;

(2)在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：

∵∠ACB=150°，

∴∠AMC=∠MAC=15°，

tan15°=tan∠AMD= = = ≈ ≈0.27≈0.3.

【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键.

26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A(﹣1，1)，B(2，2).过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D.

(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标;

(2)若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为 ，求出点M的坐标;

(3)连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标.

【分析】(1)把A(﹣1，1)，B(2，2)代入y=ax2+bx求得抛物线的函数表达式为y= x2﹣ x，由于BC∥x轴，设C(x0，2).于是得到方程 x02﹣ x0=2，即可得到结论;

(2)设△BCM边BC上的高为h，根据已知条件得到h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，于是得到M的纵坐标为0或4，令y= x2﹣ x=0，或令y= x2﹣ x=4，解方程即可得到结论;

(3)解直角三角形得到OB=2 ，OA= ，OC= ，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ①如图1，当△AOC∽△BON时，求得ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，根据三角函数的定义得到OE=4，NE=3，于是得到结果;②如图2，根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5，过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F解直角三角形得到BF=4，NF=3于是得到结论.

【解答】解：(1)把A(﹣1，1)，B(2，2)代入y=ax2+bx得： ，解得 ，

故抛物线的函数表达式为y= x2﹣ x，

∵BC∥x轴，

设C(x0，2).

∴ x02﹣ x0=2，解得：x0=﹣ 或x0=2，

∵x0<0，

∴C(﹣ ，2);

(2)设△BCM边BC上的高为h，

∵BC= ，

∴S△BCM= h= ，

∴h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，

∴M的纵坐标为0或4，令y= x2﹣ x=0，

解得：x1=0，x2= ，

∴M1(0，0)，M2( ，0)，令y= x2﹣ x=4，

解得：x3= ，x4=

，∴M3( ，0)，M4( ，4)，

综上所述：M点的坐标为：(0，0)，( ，0)，( ，0)，( ，4);

(3)∵A(﹣1，1)，B(2，2)，C(﹣ ，2)，D(0，2)，

∴OB=2 ，OA= ，OC= ，

∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ，

①如图1，当△AOC∽△BON时， ，∠AOC=∠BON，

∴ON=2OC=5，

过N作NE⊥x轴于E，

∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE，

在Rt△NOE中，tan∠NOE=tan∠COD= ，

∴OE=4，NE=3，

∴N(4，3)同理可得N(3，4);

②如图2，当△AOC∽△OBN时， ，∠AOC=∠OBN，

∴BN=2OC=5，

过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F，

∴NF⊥BF，

∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF，

∴tan∠NBF=tan∠COD= ，

∴BF=4，NF=3，

∴N(﹣1，﹣2)，同理N(﹣2，﹣1)，

综上所述：使得△AOC与△OBN相似(边OA与边OB对应)的点N的坐标是(4，3)，(3，4)，(﹣1，﹣2)，(﹣2，﹣1).

【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质.

27.我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角.如右图，AO为入射光线，入射点为O，ON为法线(过入射点O且垂直于镜面的直线)，OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON.

问题思考：

(1)如图1，一束光线从点A处入射到平面镜上，反射后恰好过点B，请在图中确定平面镜上的入射点P，保留作图痕迹，并简要说明理由;

(2)如图2，两平面镜OM、ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B.小昕说，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B.除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗?如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由;

问题拓展：

(3)如图3，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=30°，一束光线从点S出发，且平行于平面镜OM，第一次在点A处反射，经过若干次反射后又回到了点S，如果SA和AO的长均为1m，求这束光线经过的路程;

(4)如图4，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=15°，一束光线从点P出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜OM.设光线出发时与射线PM的夹角为θ(0°<θ<180°)，请直接写出满足条件的所有θ的度数(注：OM、ON足够长)

【分析】(1)如图1，作A关于平面镜ML的对称点A′，连接A′B交ML于点P，则点P即为所求，只要证明∠3=∠4即可.

(2)如图2，作A关于OM的对称点A′，作B关于ON的对称点B′，连接A′B′分别交OM、ON于点P、Q.

(3)如图3，光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S，则光线的行进路线为A→P→Q→B，求出SA+AB+BC+CB+BA+AS即可.

(4)θ=30°，60°，90°，120°，150°，分别作出图形即可解决问题.

【解答】解：(1)如图1，作A关于平面镜ML的对称点A′，连接A′B交ML于点P，则点P即为所求.

证明：如图作PN⊥ML，

∵A与A′关于ML对称，

∴∠1=∠2，

∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠1+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴AP是入射光线，PB是反射光线，P即为入射点.

(2)如图2，作A关于OM的对称点A′，作B关于ON的对称点B′，连接A′B′分别交OM、ON于点P、Q.

则光线的行进路线为A→P→Q→B.

(3)如图3，光线的行进路线为S→A→B→C→B→A→S.

∵∠SAN=∠OAB=∠MON=∠30°，

∴OB=BA，

∵BC⊥ON，

∴CA= OA= ，

∴AB= ，BC= ，

∴这束光线经过的路程为：SA+AB+BC+CB+BA+AS=(1+ + )×2=2+ .

(4)θ=30°，60°，90°，120°，150°.理由如图所示，

【点评】本题考查轴对称、翻折变换等知识，解题的关键是充分利用反射角等于入射角解决问题，第四个问题容易漏解，考虑问题要全面，属于中考压轴题.

详见题底