判别式法证明不等式事例

判别式法是中学生经常会用到的解答方法，其中用来证明不等式就不错。下面就是学习啦小编给大家整理的判别式法证明不等式内容，希望大家喜欢。

x^2+y^2+z^2>=2xycosc+2zxcosb+2yzcosa

等价于(x-cosc*y-cosb*z)^2+(sinc*y-sinb*z)^2>=0

对于分式函数 y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) ：

由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，因此“求f(x)的值域。”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，求y的取值范围。”

把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式(*)，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：

(1)当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程(*)中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求，……

(2)当二次项系数不为0时，∵x∈R，∴Δ≥0，……

此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形。

原问题“求f(x)的值域。”进一步的等价转换是“已知关于x的方程 y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c 至少有一个实数解使得 dx^2+ex+f≠0，求y的取值范围。”

1、当函数的.定义域为实数集R时

例1 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.

解：由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0，所以函数的定义域是R.

去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.(*)

(1)当y≠1时，由△≥0得0≤y≤4;

(2)当y=1时，将其代入方程(*)中得x=0.

综上所述知原函数的值域为〔0，4〕.

2、当函数的定义域不是实数集R时

例2 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.

解：由分母不为零知，函数的定义域A={x|x≠-2且x≠1}.

去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0. (*)

(1)当y≠1时，由△≥0得y^2≥0�y∈R.

检验：由△=0得y=0，将y=0代入原方程求得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，

所以y≠0.

(2)当y=1时，将其代入方程(*)中得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，

所以y≠1.

综上所述知原函数的值域为{y|y≠0且y≠1}

对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：

由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，

把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，求y的取值范围”把x当成未知量，y当成常量，化成一元二次方程，让这个方程有根.先看二次项系数是否为零，再看不为零时只需看判别式大于等于零了.

此时直接用判别式法是否有可能出问题，关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形。

这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范围”

这种方法不好有很多局限情况，如：定义域是一个区间的.定义域是R的或定义域是R且不等于某个数的还可以用.过程用上面的就可以了.。

作用

可以判断方程有没有根以及有几个根，b^2-4ac<0无根，b^2-4ac=0有两个相等根即一个根，b^2-4ac>0有两个不相等根

说明

可用判别式法简化为关于x的二次方程。

例如y=50x/(1+(x的平方)) ，附加限制条件(x>0) ，求y的最大值 。

yx^2-50x+y=0 由于两根之积为1，说明两根同号，那就必然是同正，所以两根之和为正，也就是50/y>0。

定义域情况

定义域非R有两种情况

第一种：被抠掉了一点或两点(不会考多)只需检验即可 ( 至于具体如何检验： 应当理解，判别式法的原理在于求 x有解情况下 y的范围 这解可能为两个 也可以为一个 也就是说即使抠掉的那个点在某y值下是一个解 只要此时判别式不等于零也就是还有另外的解 而那个解在定义域内则该y 值就可以取到 理解到这里就行了)

第二种也就是诸如(x>0) 。这种一般有两种考虑方法。

第一种就是从正面考虑，也就是在判别式大于等于零下，分为“一个解大于零另一个解小于等于零”和“两解均大于零(包含两解相等)”两种可能具体方法。须用韦达定理求解。

还可以从反面考虑，也就是在判别式大于等于零下排除两解都小于等于零的情况

还有种可能就是定义域为x>1。

此情况，只需参照上面方法，将 X1*X2 转化为(X1-1)(X2-1)这种形式即可。若求和亦然。

应当提的是 当遇到第二种情况(即并非抠点的情况)时，适用判别式法的题就比较少了，那样会比较麻烦。

应清楚解题方法。比如如下例题，最简单就是把x 除下来，然后求均值就可结束。