包含与排除的奥数练习题

全班有60个同学，喜欢踢足球的有2/3，喜欢篮球的有3/4，喜欢羽毛球的有4/5，三项都喜欢的.有22个同学，问三项都不喜欢至多有多少人?

设:全班只喜欢踢足球和篮球的有X个,只喜欢踢足球和羽毛球的有Y个，只喜欢羽毛球和篮球的有Z个,只喜欢踢足球的有a个，只喜欢羽毛球的有c个，只喜欢打篮球的有b个，三项都不喜欢的有n个

则

X+Y+22+a=40

X+Z+22+b=45

Y+Z+22+c=48

三项加起来得

X+Y+Z+22*2+(X+Y+Z+22+a+b+c)=133

X+Y+Z+(X+Y+Z+22+a+b+c)=89

因为60人除了22个三个都喜欢剩下38人

这38人中有

n个什么都不喜欢

喜欢足球18个

篮球23个

羽毛球26个

所以当182326共所占的人数最少时

即人数和为X+Y+Z时

n最大

此时38人=X+Y+Z+n

所以X+Y+Z=(38-n)

因为60人除了有喜欢的就是没喜欢的

所以X+Y+Z+22+a+b+c+n=60

所以X+Y+Z+22+a+b+c=60-n

所以(38-n)+60-n=89

n=4.5

所以X+Y+Z=33.5

因为X+Y+Z为整

所以X+Y+Z为33

n=5

所以n最大为5

所以三项都不喜欢至多有5个...