数学思想方法研究的历史与现状
数学思想方法的研究，自古有之，并取得了一系列进展。然而，长期以来，由于人们过于注重记述数学研究的事实与最终成果本身，而忽视总结、交流和刊发取得成果的真实经过及其思想方法，因此数学思想方法的研究十分分散，缺乏系统性，发展缓慢，至今尚未形成一个独立的研究领域和完整的理论体系。
回顾数学思想方法研究的历史，考察其现状，对深入开展这方面的研究，是大有益处的。根据我们掌握的资料，数学思想方法的研究，大体可以分为三个阶段：
一、第一阶段（18世纪末以前）：提出了许多零散的、个别的、具体的方法，以及解决数学中的实际问题
自古代到18世纪，数学研究基本上处于分散状态，各个分支、部门很少联系，因此数学思想方法的提出往往是零散的、个别的、具体的和解决实际问题的。下面的事例可以说明这一点。古希腊的亚里士多德与欧几里得提出了公理方法，以解决将大量的、零散的几何知识系统化问题，最后由欧几里得等人完成并发表了《几何原本》。中国古代数学家刘徽提出了“割圆术”，以解决长期存在的、圆周率计算不精确的问题，其中包含着极限思想方法的萌芽。英国数学家纳皮尔发明了对数方法，以解决天文观测及贸易中存在的繁重的数字计算问题。法国数学家帕斯卡确立了数学归纳法，以解决数学论证中存在的不严密的问题。法国数学家、哲学家笛卡尔提出了坐标法、用代数方法研究几何问题，并从而开创了不同数学分支相结合的思想方法。英国的牛顿与德国的莱布尼茨创立了无穷小量方法，以解决微积分理论建设中存在的问题。瑞士数学家欧拉和法国数学家拉格朗日共同建立了变分法，以解决“等周问题”、“最速降线问题”等长期解决不了的极大与极小问题等。
二、第二阶段（18世纪末到20世纪初）：创立了一批具有突破性的思想方法，使数学某些分支发生了革命性的变革
18世纪末以前，人们提出和发现了许多有实际意义的数学思想方法，有力地推动了数学的发展。但是，与18世纪末到20世纪初这一时期相比，无论是从产生的难度上看，还是从产生后所表现出来的作用上看，都显得一般和不够突出。事实上，自18世纪末到20世纪初这一时期，在数学领域中的确出现了一些具有划时代意义的思想方法，并导致了数学基础学科的变革。这是这一时期的显著特点。
在几何学中，出现了创立非欧几何的一系列思想方法。19世纪20年代，高斯、罗巴切夫斯基与亚·鲍耶等人，成功地运用了研究错误与失败、逆向与反常规思维、想象等思想方法，解决了人们奋斗两千年而未能解决的试证欧氏第五公设的问题，并从而创立了非欧几何理论，使几何学发生了一次伟大的革命。希尔伯特提出：19世纪最有启发性最重要的数学成就是非欧几何的发展。
在代数学中，出现了群论的思想方法。19世纪以来，人们在探求五次和五次以上代数方程的代数解法问题上，打破了百余年来毫无进展的僵局，首先由挪威青年数学家阿贝尔证明了五次方程代数解法的不可能性。其次，又由法国青年数学家伽罗华提出了“群”的概念，后发展为一整套群论的思想方法，彻底地解决了五次及五次以上方程的求解问题。不仅如此，群论的思想方法，在代数学的其他分支，拓扑学、函数论乃至数学以外的许多领域都得到了广泛的应用。由于群论的诞生，使传统代数学所研究的对象由具体的“数”扩充为更加抽象的“量”，由量之间的代数运算关系发展为更为一般的关系，从而使代数这门学科发生了转折性的变化。
在数学分析中，出现了极限与集合论的思想方法。19世纪30年代至50年代，法国的柯西与德国的魏尔斯特拉斯等人，在给出函数、极限等概念以精确化描述的基础上，又通过严格化了的极限思想方法与实数理论改造了微积分，并使其严密化和标准化。这是微积分学科发展史上的一个重要里程碑。1874年，德国数学家康托尔提出了集合论思想，建立起无限集的势、序型等概念以及无限集合论和超限数理论，证明了代数集合可以和整数集合一一对应，所有实数集合不可数性，发展了无限集合势的比较原理，引入了连续公理即康托尔公理等，并从而创立了集合论的理论。这一理论的创立，不仅为微积分的理论奠定了稳固的基础，而且对整个数学基础的研究，尤其对现代数学结构的探讨，也具有巨大而深远的促进作用。
应当指出的是，这一时期，除了出现上述重要思想方法外，还形成了影响广泛的数学公理化方法。到了19世纪末20世纪初，由于非欧几何、无理数理论、集合论的建立，有力地促进了数学公理化方法研究的开展。1872年，德国数学家克莱因发表了“爱尔兰根纲领”，提出用变换群的观点，给出各种几何学的综合分类，以统一整个几何学。1899年，德国数学家希尔伯特发表了《几何学基础》一书，使公理化方法深入到数学的更多分支。1908年，集合论完成了公理化，本世纪20年代，又实现了代数学的公理化，从而使公理化方法应用于数学各个分支。这场公理化运动，对数学的影响是前所未有的。
还应当特别指出的是，在这一时期，马克思和恩格斯在自己的著作尤其是《数学手稿》和《自然辩证法》中，阐发了极其丰富的数学思想，从思想方法角度论述了数学发展史上若干重大成果和著名数学家。他们的论述是数学思想方法研究的珍贵财富。但遗憾的是，这些论述未能在当时发表和发挥其应有的作用。
三、第三阶段（20世纪初以来）：逐步开展对数学思想方法理论的研究，为形成其独立的研究领域奠定了基础
20世纪初以来，由于数学基础学科中重大思想方法的出现，特别是数学公理化方法的形成以及数学基础论和数学统一研究的深入开展，人们渐渐关心数学各分支之间内在联系的研究，开始注重数学思想方法本身产生、发展规律的探讨。因此，这一时期，数学家们一方面继续创造各种数学思想方法，并用来推进数学的发展，另一方面，他们中的一部分特别是一些著名数学家集中精力从事数学思想方法理论的研究，并发表了一大批这方面的论著。与前面两个时期相比，后一方面是这一时期的突出特点。
这一时期发表的关于数学思想方法方面的理论著作，数量是很多的，研究问题的角度也是不尽相同和多方面的，但大体上可概括为以下六个方面。
第一，从数学思想方法本身内容与应用的角度研究。
就数学思想方法本身最早系统发表见解的要算德国著名数学家希尔伯特于1900年在巴黎国际数学家代表会上的演讲《数学问题》。在这篇演讲中，他精辟地阐述了重大数学问题的特点及其在数学发展中的作用，并列举了发人深思的23个重大数学问题，后人称之为“希尔伯特23个问题”。他的演讲是一篇重要的数学方法论著作。法国数学家彭加勒于1903年至1908年之间发表了《科学与假设》，《科学之价值》、《科学与方法》等著作（均有中译本）。在这三部著作中，彭加勒以章节的篇幅讨论了数学方法论的问题。后来，德国数学家赫尔德发表了《数学方法论》一书，书中对数学中的演绎方法、归纳方法、公理方法与假设方法等进行了系统的论述。
近些年来，我国数学家徐利治十分注重数学方法论的研究。他陆续发表了《浅谈数学方法论》、《数学方法论选讲》和《数学抽象度概念与抽象度分析法》等论著，并提出许多独到见解，引起了国内外数学界与哲学界的关注。解恩泽与赵树智同志合作编著的《数学思想方法纵横论》，从纵横两个方面分析了数学思想方法的形成与发展，其中既阐述了数学本身的思想与方法，又探讨了人们对数学本质与规律的认识;既论述了若干数学家的思想方法，又评介了伟大哲学家马克思与恩格斯的数学思想方法。
此外，还发表了一系列论文，对一些具体数学方法作了分析，诸如，苏联沙柳京的《控制论的算法与可能性》，日本加茂利男的《系统论与社会认识的方法》，中国黄顺基等的《论公理方法》和王顺义的《希尔伯特的现代公理化方法》等。
第二，从历史发展的角度研究。
本世纪以来，从历史演变、发展的角度研究数学思想方法的论著是不少的，但影响较大的主要有两部著作。其一是苏联A·B·亚历山大洛夫等第一流数学家于1956年发表的著作《数学-它的内容、方法和意义》（本书分三卷，均有中译本）。书中一方面从总体上概括了数学的历史演进，另一方面又着重就现代数学每一个分支的历史、内容、方法与意义等进行了阐述，与以往的数学史著作相比，它比较重视数学思想方法的分析和评价。其二是美国著名数学家M·克莱因于1972年发表的著作《古今数学思想》。这是一部全面论述近代数学各分支历史发展的著作。这部著作打破了过去史书中单纯记述史料及人物传记的框子，着重阐述了数学思想方法的古往今来。无论是一个数学成果的产生，还是一个数学学科的形成，或是一个数学家的功绩，都把着眼点放在“思想方法”上面，这是这部著作的突出特点。它是一部大部头的数学思想史专著，原书有51章1238页，内容十分丰富，见解精辟独到。国外有的专家认为，“就数学史而论，这是迄今为止最好的一本”。我们认为，本书好就好在“思想方法”的挖掘与分析上面。当然，也有不足，如对我国数学成果及其思想就没有给予应有的重视。
此外，像日本的细井淙于1953年发表的《东西方数学思想史》、伊东俊太郎于1967年发表的《纯粹数学的起源-欧几里得〈几何原本〉的形成》、三宅刚一于1968年发表的《数学哲学思想史》等，也都是从历史的角度来研究数学思想方法的论著。
第三，从数学教育与数学能力培养的角度研究。
多年来的实践表明，数学思想方法是数学教育的`重要内容，也是培养数学能力和建设数学队伍的关键所在。一些著名的数学家尤其是长期从事教育的数学家，注重这方面的研究，积累了丰富的经验，撰写了深受欢迎的著作。比如，1954年，美籍匈牙利著名数学家教育家、斯坦福大学教授G·波利亚发表了《数学与猜想》一书。波利亚在自己的教育实践中认识到，数学中的发现常常是从估计、猜想开始的，而这些估计、猜想经过实践检验，再经过严格论证推理，最后获得定理、公式等结论。但是，在一般数学教科书中，只注意写经过严格论证的结论，而不写这些结论产生的过程。本书根据上述认识和针对过去数学教科书存在的这一弊端，为了充分发挥数学教育功能，提高数学教育特别是中学数学教育水平，列举了数学史上的大量事例，集中地分析了数学成果的思想渊源，揭示论证推理与合情推理的内在联系，阐明既要重视论证推理的运用，更要重视合情推理的学习，以丰富人们的数学思想，提高数学思维能力。本书内容翔实，形式新颖，语言生动，思想深刻。出版后，引起了世界数学界的重视，特别是此书作为作者已发表的《怎样解题》、《数学的发现》的续篇，得到了著名数学家的高度评价。这本书在美国深受欢迎和推崇，曾译成多种文字出版发行，被誉为第二次世界大战后出版的经典著作之一。我国科学出版社于1984年分两卷将其翻译出版。
1969年，日本著名数学家、教育家米山国藏发表了《数学的精神、思想与方法》。以数学中一些富有启发性的实例为依据，系统地论述了贯穿于整个数学的数学精神，一些重要数学思想与若干有效的数学方法。它是把着眼点放在培养人们数学能力和创造精神的一本理论专著，其特点是以数学教育为背景，从思想方法入手，结合史实深入探讨数学认识与数学发展的规律。作者写该书的目的有二：一是为了弥补过去的不足，他说：“我认为，现在的数学书籍，不论是教科书还是参考书，也不论是大部头的著作还是论文，都仅仅是记述了数学知识，可以说还没有一本论述数学的精神、数学的思想和数学的方法的著作”。二是因为数学、思想和方法是数学创造和发展的源泉，是数学教育目的的集中表现，正如他在本书“序”中所指出的：科学工作者所需要的数学知识，相对地说是不够的，而数学的精神、思想与方法却是绝对必需的；数学知识可以记忆一时，但数学精神、思想与方法却永远发挥作用，可以受益终生，是数学能力之所在，是数学教育根本目的之所在。书中总结和概括出：
(1)贯穿整个数学中的七个数学精神：①应用化的精神；②扩张化、一般化的精神；③组织化、系统化的精神；④致力于发明、发现的精神；⑤统一建设的精神；⑥严密化的精神；⑦思想经济化的精神。
(2)十个数学思想：①“数学的本质在于思考充分自由”的思想；②极限的思想；③构成“不定义的术语组”与“不证明的命题组”的思想；④集合与群的思想；⑤把有限长看作无限长的思想；⑥把曲线看作直线的思想；⑦使得特异几何、特异数学、特异运算能够出现的思想；⑧二维空间、四维空间、高维空间的思想；⑨超限数的思想；⑩数学的神秘性与数学美的思想。
(3)数学中常用的两类方法：①证明方法；②研究方法。
日本历来重视从思想方法入手研究数学教育及其历史。比如，日本数学史家小仓金之助于1957年发表的《数学教育史》和1974年发表的《数学教育的历史》；赤摄也于1967年发表的《现代数学的思想与数学教育的现代化》；植竹桓男于1975年发表的《数学史与数学教育》等，都是把数学思想方法研究与数学教育紧密结合在一起的论著。
第四，从哲学的角度研究。
从哲学角度来研究数学思想方法，可以说是最为多见的。有的哲学家对此有兴趣，不少数学家对此也很热心。马克思的《数学手稿》是一部哲学著作，但由于它主要是阐述辩证思维方法在数学中的运用，以及数学思想的历史演进，所以它又是一部研究数学思想方法方面的著作。前面讲过，此手稿是马克思于19世纪50年代末到1883年期间写作的，但当时未能发表。直到1933年，苏联的雅诺夫斯卡娅，才将此手稿的部分内容译成俄文第一次公开发表。同年，日本将其译成日文出版。我国于1975年出版了中文译本。恩格斯《自然辩证法》的数学札记，也是从哲学的角度研究数学思想方法的。后来，又出现了许多研究马克思和恩格斯这两部著作的论著，从内容看，大部分也是属于从哲学上研究数学思想方法的。
本世纪70年代以来，现代西方哲学家十分重视数学思想方法的研究，并发表了一些论著。比如，英国数学哲学家拉卡托斯的《证明及反驳》、美国哲学家普特南的《数学、物质与方法》等。这两部著作都从哲学上系统地讨论了所谓“拟经验方法”。近年来，我国也出版了从哲学上探讨数学思想方法的著作，比如，刘凤璞等编写的《数学若干辩证内容简析》，对数学客观基础、数学概念的若干辩证性质、数学运算的对立统一，19世纪以来数学的某些进展及其特征等，进行了较为系统的论述。又比如，傅士侠主编的《科学前沿的哲学探索》，对现代数学的新分支：模糊数学、突变理论与非标准分析等进行了哲学分析，得到自然辩证法界的好评。
关于数学基础论的研究，吸引着许多数学家的注意力，并取得了不少研究成果。诸如，1956年，日本的竹内外史发表了《数学基础论》，1971年，日本的岛内纲一发表了《数学的基础》；1987年，我国的朱梧槚发表了《几何基础与数学基础》等。
不仅如此，还发表了一系列从哲学上研究数学思想方法的论文，比如，日本永井博的《数学的实在性-数理哲学的一个问题》，前原昭二的《数学的哲学》；苏联马里尼切夫的《“数学的”唯心论批判》，比留科夫的《控制论的哲学问题》，内桑巴耶夫的《数学发展中抽象与具体的统一》；我国黄耀枢的《数学基础研究的历史与现状》，郑毓信的《数学直觉浅析》、王顺义的《数学是拟经验的-拉卡托斯数学哲学述评》，王前的《试论现代数学中的经验主义思潮》，林夏水的《数学基础的若干哲学问题》等。
第五，从数学存在形态的角度研究。
从数学存在形态如潜在形态来研究数学思想方法，是我国最先开始的。1979年，我国学者开创了“潜科学”这一新的研究领域，从科学潜在形态的角度探讨科学新思想孕育、产生与发展的规律，颇受学术界的欢迎。关于数学潜在形态的研究，目前虽然还没有专门的系统著作，但在《潜科学杂志》上陆续发表了一些有关文章。在潜科学丛书，如朱新民主编的《科学史上重大争论集》、解恩泽主编的《科学蒙难集》、洪定国主编的《科学前沿中的疑难与展望》、李醒民等主编的《思想领域中最高的音乐神韵-科学发现个例研究》，以及解恩泽主编的《潜科学导论》等著作中，均有关于数学潜在形态问题的讨论。在由解恩泽与赵树智合作编著的《数学思想方法纵横论》、徐本顺与解恩泽合写的《数学猜想-它的思想与方法》和《关于数学猜想的几个问题》中，则对数学的某些潜在形态进行了专门的探讨，为形成系统的数学潜在形态的理论作了一些有益的工作。
第六，从人物评传的角度研究。
从人物评传的角度研究数学思想方法，是数学界历来关注的一个重要问题，也是一个十分有效的途径。从出版的著作看，除了在一些数学家传记如《数学人物》、《女数学家传》、《祖冲之》、《希尔伯特》、《伽罗华传》、《华罗庚传》等著作中零散地介绍一些各自的思想方法外，还有一些集中论述著名数学家思想方法的著作，比如，德国数学家梅什克夫斯基于1961年发表的《大数学家的思维方式》一书，就专门分析和介绍了毕达哥拉斯、阿基米德、库萨的尼古拉、帕斯卡、莱布尼茨、高斯、伽罗华、布尔、魏尔斯特拉斯、康托尔和希尔伯特等著名数学家的思想方法特点。还比如，日本数学史家小堀宪于1968年发表的《大数学家》一书，也选出高斯、柯西、阿贝尔、伽罗华、魏尔斯特拉斯和黎曼等六位大数学家，一方面介绍生平，另一方面分析他们的思想方法。再比如，我国的解延年、尹斌庸著的《数学家传》一书，不仅介绍了61名中外数学家的生平经历、“冠军”记录和光辉业绩，而且十分注重阐发他们的思想方法和哲学观点，是一部很有特色的数学家传记。
数学思想方法，虽然至今尚未形成一个完整的理论体系，但本世纪以来特别是50年代以来，越来越引起人们的关注，并已经取得了一系列重要的研究成果。随着现代科学的发展和人们认识的深化，数学思想方法定会吸引更多的人们去关心它、探讨它和发展它，并使它逐步成为一个具有完整理论体系的、独立的研究领域。
数学思想方法研究的意义
从数学发展史上看，长期以来，数学家们对自己所从事研究领域的思想方法是重视的，并有许多发明和创造。但是，对数学思想方法本身尤其是把它作为一个独立的领域或学问来进行研究，却是很不够的。究其原因，主要是对数学思想方法研究的意义缺乏应有的认识，那么，研究数学思想方法到底有何意义呢?
一、有利于培养数学能力与改革数学教育
我们知道，数学教育的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力和本领，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养。事实上，我们说一个人数学能力强，有数学才能，并不简单指他记忆了多少数学知识，而主要是说他运用数学思想方法解决实际问题和创造数学理论的本领。伽罗华之所以创立群论，罗巴切夫斯基之所以创立非欧几何，维纳之所以创立控制论，不仅仅在于数学知识的积累与记忆，而主要是由于他们在数学思想方法上实行了革命性的变革所致。对一个科技工作者来说，需要记忆的数学知识可多可少，但掌握数学思想方法则是绝对必要的，因为后者是创造的源泉，发展的基础，也是数学能力的集中体现。在过去的数学教育中，正是因为过于重视知识的传授和背诵，而忽略思想方法的讲解和分析，加之传统的考试制度，所以出现了“高分低能”的现象。要想改变这种状况，就要狠抓数学思想方法的研究与教学，并把它作为数学教育改革的重要内容，坚持下去，取得成效。
二、有利于充分发挥数学的功能
数学功能的发挥，同数学能力的培养一样，关键不在于知识的积累与传递，而在于思想方法的领会、运用以及创造新的思想方法上面。实践越来越证明，数学在科学技术各领域、社会科学各部门以及生产、生活的各行各业，都有广泛的应用。这是因为，任何事物都是量与质的统一体，要想真正的认识某一事物，不仅要把握其质的规定性，而且还要了解其量的规定性，因此，数学能够应用于各种物质运动形态。马克思曾指出：一门科学只有当它达到了能够运用数学时，才算真正发展了。那么怎样在各方面更加广泛地应用数学呢?我们认为，加强数学教育，特别是加强数学思想方法的教育，是至关重要的。数学的科学功能的发挥，主要是靠数学思想方法向科学各领域的渗透与移植，把数学作为一种工具加以运用，从而促进其发展。当代科学数学化的趋势明显地反映出这一点。数学的思维功能的发挥也是如此。我们说数学是一种思维工具，实质上就是指它的思想方法。为什么往往通过数学的考核来判定一个儿童的思维能力与智力水平呢?其根据也在这里。至于数学的社会功能的发挥，同样还是靠数学思想方法的运用。我们说某人办事有数学头脑，无非是说他能灵活地运用数学思想方法。欧拉作为一位数学家，之所以不仅在代数、数论、微积分等数学分支研究上取得了突出成果，而且还在力学、物理学、天文学、航海、造船、建筑等许多非数学领域与部门做出重大贡献，集中到一点就是他具有深刻的数学思想和非凡的运用数学解决实际问题的才能。这也是他之所以能成为数学史上著名应用数学大师的根本原因所在。
三、有利于深刻认识数学本质与全面把握数学发展规律
在数学思想方法的研究中，我们可以通过对数学内容辩证性质的探讨，进一步认识数学的本质。马克思和恩格斯在自己的著作中，都对微积分内容的辩证性质作过精辟的分析，并从而概括其本质。马克思在《数学手稿》中，着重对导函数概念作了探讨。他认为，导函数生成的过程就是原函数经历了“否定之否定”的发展过程，并深刻指出：“理解微积分运算时的全部困难（正像理解否定的否定本身时那样），恰恰在于要看到微积分运算是怎样区别于这样简单手续并因此导出实际结果的。”恩格斯在谈到微积分的本质时，也曾经明确指出：“变数的数学-其中最重要的部分是微积分-本质上不外是辩证法在数学方面的运用”。事实上，微积分中所运用的思想方法，实质上就是辩证法。就拿微积分中最基本的牛顿-莱布尼茨公式来说，就是通过常量与变量的相互转化而推得的。本来作为曲边梯形面积的定积分是一个确定的常量，但为了推导牛顿-莱布尼茨公式，却特地把此定积分看作是上限函数，即把常量转化为变量。然后，在证明一个定理成立的基础上，又反过来把变量转化为常量，最终得到了这一公式。因此，我们可以说，牛顿-莱布厄茨公式就是常量与变量辩证统一的结果。
关于通过数学思想方法的研究，可更加全面把握数学规律的问题，前面已经讲过，它可从数学内部的矛盾运动这个侧面来发现和认识规律，以弥补过去只注重从外面研究的不足。比如，在关于数学潜形态的研究中，一方面可以提高对数学新思想萌发和形成规律的认识，另一方面，还可以加强对数学由“潜”到“显”转化机制的掌握。研究表明：对新事实的解释、对理论体系自身矛盾的研究、对个体结论的推广等，均是科学新思想产生的有效途径;树立科学成效观、积极开展自由论争、大力倡导科学伯乐精神、实行科学的组织管理等，都是加速科学由“潜”到“显”转化的重要机制。这对深入探讨数学由“潜”到“显”转化的规律，显然具有启示意义和参考价值。
总之，数学思想方法的研究，具有十分重要而深远的意义。我们相信，数学思想方法作为一个独立的研究领域，必将不断取得新的研究成果，为数学、自然科学、教育科学与哲学的发展，做出应有的贡献。
